Урок 8. Делим ток и роняем напряжение

Сегодня мы поговорим о нескольких видах простейших электрических цепей и узнаем, как же можно уронить напряжение и разделить ток на несколько частей. Урок будет длиииииинный, но содержательный, с разбором задачи в конце. Начнем с давно забытого всеми урока за номером четыре, где велся разговор о законе Ома для полной цепи. Было указано, что сила тока в цепи зависит от суммы сопротивлений: внешнего (нагрузки) и внутреннего сопротивления источника. Однако, а почему это мы так вдруг решили, что от суммы, а не, например, от разности или корня квадратного? Бездоказательно, однако! Рассмотрим схему этой цепи, немного отступив от правил прошлого урока… «Ну вот, учили-учили, а теперь забываем применять?! – скажете вы.» Нет, эти правила действительно нужны и мы их будем применять, но только когда нам нужно нарисовать именно принципиальную схему устройства, а сейчас мы будем рассматривать некую небольшую абстрактную схему и для наглядности и простоты некоторых (только некоторых!) правил не будем придерживаться. Но для начала посмотрим, как изображается и обозначается на принципиальной электрической схеме давно уже известное нам сопротивление.


Как видите, это обычный прямоугольник, размерами 10мм*4мм.
Итак, наша схема будет состоять из двух сопротивлений и идеального источника, нарисуем ее.

Рисунок 8.1 – Источник питания с внутренним сопротивлением

На этой схеме внутреннее сопротивление источника GB1 обозначено как r, а сопротивление внешней цепи (нагрузка) – как R. Причем, считаем, что R>>r. Здесь мы и отступаем от норм ГОСТ, поскольку для простоты понимания опускаем цифровые обозначения сопротивлений и добавляем на схему некоторые точки A, B и C. Такое включение сопротивлений называют последовательным, так как включены они как бы друг за другом – конец сопротивления r подключен к началу сопротивления R (точка B) и между ними нет больше каких-либо элементов или отводов. Закон Ома для полной цепи говорит, что ток, в электрической цепи зависит от сопротивления этой цепи и одинаков для всех элементов, то есть ток, протекающий через r, равен току, протекающему через R. Давайте рассмотрим этот момент с помощью метода доказательства «от противного». Предположим, что токи, протекающие через сопротивления различны. Ток через большее сопротивление R, исходя из закона Ома, должен быть меньше тока через r. В таком случае в точке B начал бы накапливаться заряд, поскольку ток, выходящий из точки B меньше тока, входящего в нее, а ток есть ни что иное, как отношение перенесенного полем заряда на время. Накапливаемый в точке B заряд создает в этой точке потенциал, который в некоторый момент времени сравняется с потенциалом положительной клеммы аккумулятора (точка A). В этом случае ток в цепи прекращается, поскольку при разности потенциалов двух точек равной нулю потенциальные энергии зарядов в этих точках равны, и работа поля равна нулю. Это умозаключение, кстати говоря, приводит нас к одному интересному выводу:

Однако, электроны, образующие не скомпенсированный заряд в точке B постепенно будут поглощаться ионами материала, что приведет к снижению потенциала и возобновлению тока, который восстановит потенциал и опять прервёт сам себя. Но это бы противоречило закону Ома, который говорит, что ток в цепи всегда постоянен, а здесь имеет место прерывистый ток, значение которого зависит от времени. Соответственно, такой ситуации быть не может, мы пришли к противоречию.

Если же мы представим, что r>>R, тогда ток через большее сопротивление r исходя из закона Ома должен быть меньше тока через R. В этом случае ток, втекающий в точку B будет меньше, чем ток, вытекающий из нее, что приведет к уменьшению числа свободных электронов в материале до нуля и ток опять прекратится. Со временем за счет дрейфа и превращения атомов материала в ионы свободные электроны вновь образуются, и ток возобновиться, но истощение заряда продолжится, и ток опять прекратит сам себя. То есть мы видим такую же ситуацию, как в первом случае.

Остаётся только одно разумное решение:

В этом случае поддерживается постоянный баланс потенциалов всех точек цепи. Это не говорит о том, что потенциалы одинаковы! Это значит, что потенциал каждой точки строго определён протекающим в ней током.
Теперь давайте разберемся, почему ток в цепи будет зависеть от суммы сопротивлений. Тут всё довольно просто. Последовательное соединение двух проводников приводит к увеличению длины эквивалентного проводника, а это в свою очередь – к росту сопротивления (формула из Урока 3). Отсюда запоминаем еще одно важное правило:

Наш вывод относительно протекания тока между точками одинакового потенциала приводит к тому, что точки A, B и C обладают различными потенциалами, раз ток в цепи существует. Причем потенциал точки C меньше потенциала точки B, а точки B меньше, чем точки A. Почему? А потому что уменьшение количества свободных электронов (за счет столкновения с узлами кристаллической решётки и прочих потерь в материале) происходит последовательно от «минуса» аккумулятора (он же является их источником!) через сопротивления R и r к «плюсу» аккумулятора (а он уже является источником положительных ионов). К тому же мы ведь считаем, что ток «течет» от «плюса» к «минусу», а электроны наоборот – от «минуса» к «плюсу», поэтому, исходя из формулы Урока 3 для потенциальной энергии заряда, видно, что наибольшим потенциалом обладает точка с наименьшим зарядом, – «плюс» аккумулятора.

А раз две точки имеют разный потенциал, то между ними есть напряжение, которое называют падением напряжения. Нетрудно догадаться, что падение напряжения на элементе пропорционально току, протекающему через него, так как величина тока регулирует количество заряда на концах элемента, т.е. разность потенциалов. По сути величина падения напряжения подчиняется закону Ома для участка цепи:

U_R=I_R∙R, где

I_R – ток, протекающий через сопротивление,
R – величина этого сопротивления.
Для нашей схемы на Рисунке 8.1 справедливы следующие соотношения:

U_AB=I∙r,
U_BC=I∙R,
U_AC=I∙(R+r)=ε_GB1

Из этих соотношений хорошо видно, что падение напряжения – часть эдс источника, доставшаяся участку цепи. Часто на схемах можно встретить такие обозначения падения напряжения:

Рисунок 8.2 – Обозначение падения напряжения

Стрелку направляют в сторону уменьшения потенциала. Разумеется, на принципиальных электрических схемах падение напряжения указывать не допускается.
Раз мы заговорили о последовательных цепях, наверное, существуют и параллельные? Да, действительно, такие соединения есть и выглядят они следующим образом:

Рисунок 8.3 – Параллельное соединение сопротивлений

Параллельным соединением называется такое соединение, при котором выходы элементов соединены в одних точках. На нашей схеме это точки A и B. Поскольку элементы имеют общие точки, разность потенциалов на этих элементах будет одинакова, как и падение напряжения. То есть, напряжение на параллельных ветвях электрической цепи одинаково.

Для удобства дальнейшего рассмотрения процессов в электрических цепях введем такие понятия как: узел, ветвь и контур. Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь, например, на Рисунке 8.3 отрезок AB есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на Рисунке 8.3 обозначены жирными точками. На рисунке 8.1 точки A, B и C не являются узлами).

Контур – замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам. Например, контуром можно назвать параллельное соединение сопротивлений R₁ и R₂ на Рисунке 8.3
Рассмотрим теперь, что происходит с токами ветвей I, I₁ и I₂:

Эти соотношения получаются из довольно простого логического заключения: если источник включен параллельно сопротивлению, то падение напряжения на сопротивлении не может быть отличным от эдс источника, ведь потенциалы концов сопротивления R₁ соответственно равны потенциалам концов сопротивления R₂. Причем не играет роли, какое количество параллельных ветвей будет подключено – на каждой из них напряжение будет одно и то же. Как же получить выражение для тока I? Начнем рассуждать с того, что мощность, отдаваемая источником должна быть равна мощности, потребляемой нагрузкой, ведь закон сохранения энергии никто не отменял. Запишем выражения для мощностей, пренебрегая внутренним сопротивлением источника:
P_ист=I∙ε
P_нагр=P_R1+P_R2=I₁∙U_R1+I₂∙U_R2=I₁∙ε+I₂∙ε=(I₁+I₂)∙ε
Приравнивая правые части уравнений, получим:

(I₁+I₂ )∙ε=I∙ε

Таким образом, сокращая на ε:

I=I₁+I₂

То есть, в параллельных ветвях происходит деление тока. Если перенести слагаемые I₁ и I₂ в левую часть уравнения, получим, что алгебраическая сумма токов в каждом узле электрической цепи равна нулю.

Учитывается именно алгебраическая сумма (с учетом знака), потому что направление тока мы можем положить любым, ведь в сложной схеме можем заранее не знать, втекает ток в узел или вытекает из него (втекающий ток берётся со знаком «плюс», вытекающий – со знаком «минус»). То есть мы, например, могли бы перенести слагаемое I в правую часть и получили бы уравнение, в котором втекающие токи были бы со знаком «минус», а вытекающие со знаком «плюс», но ничего не мешает нам поделить обе части уравнения на -1. Это утверждение называется I правило Кирхгофа или правило токов Кирхгофа. Иногда его не совсем корректно называют законом Кирхгофа. Всё-таки это правило, потому что оно не является фундаментальным законом природы, а вытекает из других фундаментальных законов.

Кроме I правила Кирхгофа существует еще и II правило Кирхгофа:

Закон Ома является частным случаем II правила Кирхгофа для цепи из одного контура. Здесь выражение «алгебраическая сумма» значит, ровно то же, что и для I правила, только для напряжений.
Как использовать эти правила для расчета сложных электрических цепей мы рассмотрим на следующем уроке, который полностью будет посвящен практике.

Возвращаясь к схеме на рисунке 8.3 возникает логичный вопрос: как же нам рассчитать эквивалентное сопротивление параллельных ветвей? Ясно, что формула для последовательной цепи сюда не подойдет. Давайте заменим сопротивления R₁ и R₂ одним эквивалентным сопротивлением:

Рисунок 8.4 – Замена параллельных сопротивлений эквивалентным сопротивлением

Теперь ничто не мешает нам применить закон Ома, чтобы рассчитать R_экв:

При подобной замене мы будем пользоваться следующим вариантом записи:

Пришло время запоминать еще одно важное правило: величина, обратная общему сопротивлению параллельных ветвей, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждой ветви

Или, иначе: эквивалентная проводимость параллельных ветвей равна сумме проводимостей этих ветвей.

Немного тавтологии, пожалуй, не помешает…

Схема на рисунке 8.3 называется делитель тока и находит широкое применение. Более подробно применение делителя тока мы рассмотрим позже, а сейчас приведем такой пример, чтобы хоть немного убедить читателя в полезности этого схемного решения. Рассмотрим схему на рисунке 8.4. Допустим, эдс источника ε=5В, а сопротивление нагрузки R_экв=1Ом, тогда мощность, выделяемая в нагрузке равна:

Посмотрим, что произойдёт, если мы заменим эквивалентное сопротивление двумя одинаковыми параллельно включенными сопротивлениями (рисунок 8.3). Чтобы сохранить величину эквивалентного сопротивления равным 1Ом, рассчитаем величины сопротивлений R₁ и R₂:

то есть каждое из сопротивлений должно быть больше эквивалентного в 2 раза.
Рассчитаем мощность, выделяемую на каждом из этих сопротивлений:

Суммарная мощность нагрузки осталась прежней, однако, как нам уже известно, мощность выделяемая на сопротивлении, полностью переходит в тепло, следовательно, при одной и той же рассеиваемой мощности, во втором случае мы получим более комфортный температурный режим для нагрузки (температура каждого сопротивления будет ниже, чем температура эквивалентного сопротивления) за счет увеличения в 2 раза площади рассеивания (ведь мы используем два проводника вместо одного). Соответственно, трата дополнительных денег на приобретение двух проводников позволяет нам сэкономить на охлаждении. Часто бывают такие ситуации, что слишком большой перегрев элемента может приводить к выходу его из строя (даже такой простой вещи как кусок проводника). Кроме того, многие полупроводниковые приборы (диод, транзистор, тиристор) рассчитаны на определенный номинальный ток, и, чтобы увеличить предел номинального тока, такие приборы включают параллельно. Можно, конечно, взять прибор с большим номинальным током, но чаще всего стоимость таких прибор намного больше. Экономия, однако…

Давайте немного изменим эту схему, пренебрегая внутренним сопротивлением и добавив еще одно сопротивление во внешнюю цепь:

Рисунок 8.5 – Последовательное соединение сопротивлений

По сути, это та же схема последовательного соединения двух сопротивлений, только теперь оба эти сопротивления являются частью нагрузки. Из вышеприведенных соотношений видно, что напряжение на каждом сопротивлении определяется протекающим током и значением этого сопротивления. Используя закон Ома, выразим величину тока, протекающего через сопротивления:

тогда, подставляя значение тока в выражение для падения напряжения, получим:

Из полученных соотношений видно, что величина падения напряжения зависит от эдс источника и соотношения сопротивлений.

При R₁=R₂ падение напряжения на каждом сопротивлении составит ровно половину эдс источника. Таким образом мы поделили напряжение пополам и теперь можем использовать отвод в точке А в качестве «плюса» своеобразного источника питания, но с пониженным напряжением. Такая схема называется делителем напряжения. Ее полезно применять, когда имеется источник с большим напряжением, чем требуется. Сопротивление R₁ называется верхним плечом, а сопротивление R₂ – нижним. Однако, резистивный делитель напряжения обладает существенными недостатками: во-первых, потери мощности на плечах делителя снижают кпд устройства, поскольку просто переходят в тепло, а, во-вторых, сопротивление выходного плеча (с которого снимается часть эдс) должно быть согласовано с сопротивлением нагрузки, чтобы сохранять требуемое напряжение. Рассмотрим эти два момента на примере общего случая включения сопротивлений так называемого смешанного соединения.

Рисунок 8.6 – Смешанное соединение сопротивлений

Как мы видим, сопротивления R₂ и R_н включены параллельно, а их эквивалентное сопротивление включено последовательно с R₁. Теперь сформулируем условия задачи: на нагрузке мощностью
P_н=20 Вт необходимо получить напряжение U_н=5 В, если имеется аккумуляторная батарея номинальной эдс ε=12 В.
Для начала обозначим направления протекания токов в каждой ветви.

Рисунок 8.7 – Направления протекания токов

Рассчитаем параметры нагрузки по известной мощности и напряжению:

Однако, нам неизвестны токи I₁ и I₂, так же как и сопротивления R₁ и R₂. В таких случаях при разработке схемы необходимо самому задать необходимые недостающие условия, но так, чтобы задача имела решение. Например, мы могли бы задать R₁=10 Ом, но ведь ток I₁ не может быть менее 4А, а значит:
U_R1>I₁∙R₁=4А∙10Ом=40В,
что заведомо больше, чем напряжение на аккумуляторе. Чтобы не угадывать значения сопротивлений, давайте для уменьшения потерь на сопротивлении R₂ зададим ток I₂ равным 10% от тока нагрузки, ведь ничто не мешает нам так сделать.

I₂=0.1I_н=0.4 А

Напряжение U_н равно напряжению U_R2, так как эти сопротивления включены параллельно, значит, сопротивление R₂ из закона Ома равно:

Ток I₁ можно рассчитать двумя способами:

• Исходя из I правила Кирхгофа для узла А:

  I₁=I₂+I_н

• Используя закон Ома.

Для начала давайте рассчитаем его, используя второй способ, а потом сравним результаты.
Поскольку нижним плечом делителя является эквивалентное сопротивление параллельно включенных сопротивлений R₁ и R_н, рассчитаем его:

Заметьте, что эквивалентное сопротивление всегда меньше меньшего сопротивления!
Ток I₁ соответствует току через последовательное соединение сопротивлений R₁ и R_экв. Его можно найти из закона Ома:

Теперь рассчитаем этот же ток, используя первый способ:

I₁=I₂+I_н=0.4А + 4А = 4.4А

Результаты совпали, значит, расчет выполнен верно.
Рассчитаем величину сопротивления R₁, пользуясь опять же законом Ома:

Итак, при помощи двух сопротивлений мы спроектировали (ого-го!) устройство понижения напряжения с 12 В до 5 В. Давайте оценим кпд этого устройства. Полезной мощностью у нас является мощность нагрузки P_н=20 Вт, а полной мощностью – мощность, отдаваемая аккумуляторной батареей, которая равна произведению потребляемого тока (I₁) на эдс батареи:

P_GB1=ε∙I₁=12В ∙ 4.4А = 52.8Вт

Тогда кпд равен:

Всего-то! Ужасно! Давайте подумаем, как можно увеличить этот показатель…
Но сначала разберемся откуда берутся такие большие потери мощности… А браться им, кроме как на нагрев сопротивлений R₁ и R₂ неоткуда. Давайте рассчитаем мощность потерь для каждого из них:

P_R1=I₁²∙R₁=(4.4 А)²∙1.136 Ом=30.8 Вт
P_R2=I₂²∙R₂=(0.4 А)²∙1.59 Ом=2 Вт

Сразу видно, что наибольшие потери рассеиваются на сопротивлении R_1. Величину тока мы значительно изменить не можем, так как она не может быть меньше величины тока нагрузки. Можно подкорректировать величину заданного нами тока I₂… Стоп. А зачем нам вообще это сопротивление? Ведь делитель может быть собран с помощью самой нагрузки в качестве нижнего плеча! Смело убираем R₂ из схемы.

Рисунок 8.8 – Модернизированная схема

Теперь нам не нужен этот «паразитный» ток I₂. Пересчитаем величину сопротивления R₁:

Потери мощности на нем:

P_R1=I_н²∙R₁=(4 А)²∙1.75 Ом=28 Вт

И кпд:

Кпд вырос, но потери все равно огромные! Но больше мы сделать, к сожалению ничего не можем: такая схема попросту неэффективна… Мы впустую потратили больше энергии, чем получили полезной работы. Вот такой первый недостаток схемы делителя напряжения.

Теперь посмотрим, что будет, если мы изменим параметры нагрузки, например, вместо 20 Вт подключим 15 Вт. Изменится величина сопротивления нагрузки, ведь она определена номинальными значениями мощности и напряжения:

Посмотрим, что произойдет с напряжением на нижнем плече делителя, то есть на нагрузке:

В сумме напряжения на плечах делителя равны эдс источника, значит:

Тогда нагрузке достанется часть эдс, равная:

U_н=ε-U_R1=12 В-6.15 В=5.85 В

Получается, что мы превысили номинальное напряжение на ≈17%. И нельзя точно сказать, выдержит ли наша нагрузка такого превышения. А может она попросту выйдет из строя… Получается, что без изменения R₁ подключать нагрузку, отличную от расчетной, нельзя. Это и есть второй недостаток схемы делителя. В основном эта схема применяется там, где мощность потерь невелика, например, в цепях с силой тока единицы – десятки миллиампер.

Теперь кратко опишем важные моменты урока, а на этом я с вами прощаюсь, ждем следующего урока, в котором подробно разберем задачу на расчет сложной электрической цепи.

• Между точками одинакового потенциала протекание электрического тока невозможно.
• Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь.
• Узлом называют точку соединения трех и более.
• Контуром называют замкнутый цикл из ветвей.
• При последовательном соединении все элементы связаны друг с другом так, что включающий их участок цепи не имеет ни одного узла.
  Ток в последовательной цепи одинаков для каждого элемента.
  Эквивалентное сопротивление цепи равно сумме входящих в нее сопротивлений:
  
• При параллельном соединении все входящие в цепь элементы объединены двумя узлами и не имеют связей с другими узлами, если это не противоречит условию.
  Напряжения между двумя узлами, объединяющими элементы цепи, одинаково для всех элементов. Эквивалентное сопротивление цепи может быть рассчитано по формуле:
  
• I правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в каждом узле электрической цепи равна нулю.
  
• II правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме эдс ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю.
  

← Урок 7. Основы составления электрических схем | Содержание | →